剩余平方和怎么算

100次浏览发布时间：2025-01-04 20:20:30

剩余平方和（Residual Sum of Squares, RSS）是统计学术语，也称为残差平方和，它表示实际值与估计值之差的平方的总和。具体计算步骤如下：

对于每个数据点 $（x_i, y_i）$，其残差 $\text{Residual}_i$ 是实际值 $y_i$ 与通过回归模型预测的值 $\hat{y}_i$ 之差，即 $\text{Residual}_i = y_i - \hat{y}_i$。

将所有残差平方后相加，即 $\text{RSS} = \sum_{i=1}^{n} （\text{Residual}_i）^2$。

示例

假设有以下数据点：

\begin{align*}

（x_1, y_1） &= （1, 2） \\

（x_2, y_2） &= （2, 3） \\

（x_3, y_3） &= （3, 5） \\

（x_4, y_4） &= （4, 4） \\

（x_5, y_5） &= （5, 5）

\end{align*}

假设回归模型为 $\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x$，且已经通过最小二乘法求得回归系数 $\beta_0 = 1$ 和 $\beta_1 = 1$。

$\hat{y}_1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$

$\hat{y}_2 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 4$

$\hat{y}_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 6$

$\hat{y}_4 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 8$

$\hat{y}_5 = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 = 10$

$\text{Residual}_1 = 2 - 2 = 0$

$\text{Residual}_2 = 3 - 4 = -1$

$\text{Residual}_3 = 5 - 6 = -1$

$\text{Residual}_4 = 4 - 8 = -4$

$\text{Residual}_5 = 5 - 10 = -5$

$\text{RSS} = 0^2 + （-1）^2 + （-1）^2 + （-4）^2 + （-5）^2 = 0 + 1 + 1 + 16 + 25 = 43$

因此，剩余平方和为 43。

总结

剩余平方和（RSS）通过计算实际值与预测值之差的平方和来衡量模型预测的误差。它在回归分析中用于评估模型的拟合优度，即模型对数据的拟合程度。